الأعداد العقدية، حقيقة أم خيال؟!

ماهية العدد التخيلي

Do Complex Numbers really exist, or still imaginary?!

ما مدى روعة العدد التخيّلي "\(i\)" ؟! ربّما لولاه لم نكن لنستطيع التّحدّث على الهواتف الخليويّة أو الاستماع إلى الراديو!

إذا لم تكنْ قد سمعتَ عنه من قبل، فيمكنني ببساطة أن أعرّفه لك بأنّه الجذر التربيعيّ للعدد "\(-1\)"، أي أنّ \(i^{2}=-1\)

ولكن كيف ذلك؟! هل هناك جذرٌ تربيعيٌّ للعدد السالب؟! قلتُ لكَ منذ البداية إنّه عددٌ تخيّلي، أو كان على الأقل كذلك في بداية الأمر... ولكن كيف يمكن لأداةٍ تخيّليّةٍ أن تساعدنا في تطوير حياتنا التقنيّة الواقعيّة؟!

لنتحدّث قليلاً عن تاريخ نشأة الأعداد العقدية (المركّبة، التخيّلية) والعدد التخيّلي \(i\)

ظهرت الحاجة إلى الأعداد التخيّليّة عندما تمّ إنشاء الأعداد السالبة، حيث لم يستطع الرياضيون إيجاد جذرٍ تربيعيّ للعدد السالب...

تمّ التعامل مع جذور الأعداد السالبة لأوّل مرّة في القرن السادس عشر، حيث وجد العالم Girolamo Cardano أن بعض المسائل لها حلّ بدلالة جذور تربيعيّة لأعداد سالبة، ومع أنّه كان يؤمن بأنّ مثل هذا الحلّ غير واقعيّ إلا أنّه كان متأكّداً بأنّه لا يوجد حلّ آخر! وقد وافقه النّاس بعدم الفائدة من ذلك قرابة قرنٍ من الزمان...

جاء العالم رينيه ديكارت في عام 1637 ليضع الصيغة النموذجية للأعداد التخيّلية، والتي قادت فيما بعد إلى الصيغة الجبرية للعدد العقدي “\(a+bi\)”.

إنّ هذه الصيغة تعني أنّ العدد العقدي مركّب من جزئين: الجزء الأوّل (الحقيقي) \(a\) هو مجرّد عدد حقيقي، والجزء الثاني (التخيلي) \(bi\) هو عدد حقيقي \(b\) مضروب بالعدد التخيلي \(i\)، وإنّ مجموع هذين الجزئين هو العدد العقدي...

ومع ذلك، فإنّ ديكارت لم يؤمن بالأعداد العقدية كثيراً، وافترض أنّه لو تمّ استخدامها في حلّ مسألة ما فإنّك لن تصل إلى نتيجة! في الحقيقة هو من أسماها "أعداداً تخيّليّة".

وطوال أكثر من قرن بعد ذلك تنوّعتْ آراء العلماء بين مؤمنٍ بإمكانيّة وجود العدد \(i\) ومحاولٍ لإثبات وجوده، وبين رافضٍ لإضافة عدد جديد!

قام المؤمنون منهم بدراسة هذه الأعداد إلّا أنّهم لم يستطيعوا الوصول إلى طريقة لتبسيط الأمر لعامّة النّاس... لقد علموا أنّ \(i\) ضرب \(i\) يساوي ناقص واحد، وقاموا بإنشاء مخطّطات لتوضيح تلك المفاهيم وأنّ أيّ عدد عقدي هو عبارة عن نقطة في مخطّط ذو إحداثيّين متعامدين \(X\) و \(Y\)، بحيث يعبّر المحور \(X\) عن الأعداد الحقيقيّة الصّرفة (التي يكون جزؤها التخيّليّ معدوماً) بينما يعبّر المحور \(Y\) عن الأعداد التخيّليّة الصرفة (التي يكون جزؤها الحقيقيّ معدوماً)، وأنّ أيّة نقطة أخرى من ذاك المخطّط هي عبارة عن عدد عقدي ذو شقّين: حقيقي وتخيّلي...

ولكن بما أنّ هؤلاء العلماء أنفسهم لم يستطيعوا معرفة استخدامات هذه الأعداد فقد تمّ تجاهل أبحاثهم واعتبارها مجرّد فلسفة رياضيّة غير ذات فائدة...

في عام 1777 قام العالم أولر بوضع الرمز "\(i\)" للعدد التخيّلي، والذي جعل الأمر أسهل للفهم من قبل النّاس...

طريقة أخرى للتعبير عن الأعداد العقديّة أوجدتْ في عام 1833 من قبل العالم ويليام هاملتون، ساعدتْ في تقريبها من أذهان النّاس، وهي أن يتمّ اعتبار العدد العقدي ثنائيّة مكوّنة من عددين حقيقيّين... فمثلاً يمكن التعبير عن العدد العقدي " \(2+3i \) " المكتوب بالشكل الجبري بالثنائية \((2,3)\).. (1)

وهنا انطلقت الأبحاث في بحرٍ جديد أنشأ ثورةً في عالم الرياضيات، وقام العديد والعديد من الرياضيّين بإنشاء نظريّات وأبحاث هائلة في مجال التحليل العقدي، وتمّ قبول الأمر أخيراً في المجتمع العلميّ واحتلّ التحليل العقدي كلّ المجالات الرياضية البحتة والتطبيقية، الفيزياء، الهندسة، وعلوم الكهرباء والالكترون و...

لنعد الآن إلى سؤالنا الأول: "كيف يمكن لأداةٍ تخيّليّةٍ أن تساعدنا في تطوير حياتنا التقنيّة الواقعيّة؟!"

حسناً.. هل سأصدمكَ إذا قلتُ لكَ إنّ العدد \(i\) بدأ تخيّلياً ثمّ تمّ فيما بعد إثبات وجوده فعلاً؟! ولكن كيف ذلك؟!

ليس الأمر معقّداً جدّاً دعني أشرح لك الفكرة ببساطة...

العدد \(i\) موجود حقّاً ولكن ليس في فضاء الأعداد الحقيقيّة \(ℝ\)، وإنّما في الفضاء الثنائي \(ℝ^{2}\) حيث أن الفضاء الثنائي \(ℝ^{2}\) هو عبارة عن فضاء كلّ الثنائيّات من الشكل \((x,y)\) حيث أنّ كلّاً من \(x\) و \(y\)  أعداد حقيقية، يتمّ التعبير عن هذا الفضاء باستخدام محورين حقيقيّين متعامدين يعبّر أحدهما عن المسقط الأول \(x\) ويعبّر الآخر عن المسقط الثاني \(y\)... وهذا يكافئ تماماً المخطّط الموضّح في الصورة السابقة... إذاً يمكن اعتبار أي عدد عقدي هو عنصر من الفضاء \(ℝ^{2}\)، أي مكوّن من عددين حقيقيّين...

تكمن فكرة الإثبات في إيجاد ثنائية من هذا الفضاء \(ℝ^{2}\)، بحيث إذا ربّعناه فإنّنا سنحصل على العدد الحقيقي "\(-1\)"، وبذلك يتمّ المطلوب وتكون هذه الثنائية هي الجذر التربيعي للعدد "\(-1\)"

في الحقيقة سنأخذ الثنائية \((0,1)\) من الفضاء \(ℝ^{2}\)، وهي الثنائية المقابلة للعدد التخيلي \(i\)، والتي يجب أن تكون -منطقيّاً- هي الثنائية المنشودة والتي مربّعها هو "\(-1\)"... ولكن كيف يتمّ تربيع ثنائيّة ما من الفضاء \(ℝ^{2}\)؟!

لنأخذ الثنائيّة \((x,y)\) والتي تعبّر عن أيّ عدد عقديّ، ولكن سنكتب هذا العدد بالشكل الجبريّ ونقوم بتربيعه:

\((x+y.i)^{2}= x^{2} + 2xy.i + y^{2}.i^{2} \)

ولمّا كان \(i^{2}=-1\) فإنّ:

\((x+y.i)^{2}= x^{2}-y^{2} + (2xy).i \)

أي أنّ عملية تربيع أي عدد عقدي تعطي عدداً عقديّاُ جديداً: جزؤه الحقيقي هو \(x^{2}-y^{2}\)، وجزؤه التخيلي هو \(2x.y\) ومنه فنتيجة تربيع العدد العقدي \((x,y)\) هي العدد العقديّ \((x^{2}-y^{2},2x.y)\)وهذه الثنائيّة هي مجدّداً عنصر من الفضاء \(ℝ^{2}\).

لنعد الآن إلى الثنائيّة \((0,1)\) ونطبّق القاعدة السابقة عليها، وذلك بتعويض كل \(x\) بصفر وكل \(y\) بواحد.. ما الذي سنحصل عليه!؟

\((0^{2}-1^{2} , 2.0.1) = (-1,0) \)

هل تعني لكَ هذه الثنائيّة شيئاً؟! نعم! إنّها العدد الحقيقي الصرف "\(-1\)" الموجود على المحور الحقيقي \(X\) في المخطط المرسوم! أليستْ نتيجةً مذهلة؟!

ألا تزال تواجه صعوبةً في تصديق الأمر؟! معك الحقّ تماماً.. سأحكي لكَ -باختصار- قصّةً حقيقيّةً قصيرة تشدّ على يدك في هذا الشّكّ.. إنّها قصّة الأعداد السالبة...

إنّ أول مجموعة قواعد للتعامل مع الأعداد السالبة وُضِعتْ في القرن السابع الميلادي، علماً أنّ فكرة الأعداد السالبة موجودة منذ 200 ق.م، حيث وُجد نظام عدّ صيني يعبّر عن المقادير الموجبة باللون الأحمر، وعن المقادير السالبة باللون الأسود.. وبعد قرون طويلة من تعامل النّاس مع فكرة الأعداد السالبة وتطوّرها بحيث أصبحت ركناً أساسيّاً بُنيت عليه الرياضيات فيما بعد وأصبح جزءاً لا يتجزّأ منها..

فعلى الرغم من كلّ ذلك يأتي العالم الرياضي Francis Maseres في عام 1758 ليفاجئنا بقوله: "إنّ الأعداد السالبة تلقي بالظلام والغموض على أشياء هي في حقيقتها واضحة وبسيطة!" ينتقد هذا العالم الأعداد السالبة بوصفها شيئاً غير واقعي، بل بأنّها تعقّد المفاهيم الواقعيّة وتجرّدها من بساطتها وعفويّتها!

لو فكّرتَ بالأمر مليّاً فسوف تجد أنّ في كلامه شيئاً من الصحة.. أليستْ كلّ المقاييس التي تحوي جانباً سالباً هي مقاييس اصطلاحيّة وحسب؟! درجة الحرارة، الارتفاع والانخفاض عن سطح البحر، جهة الدوران...

هذا لا ينفي على أيّة حالٍ ضرورة الأعداد السالبة لفهم العالم والتعامل مع الكون والتعبير عن بعض الظواهر الفيزيائية والتفاصيل الرياضية...

ولكن لا تقلق، فقد قام مجموعة من العلماء البريطانيين في القرن التاسع عشر بالتحقيق في قوانين علم الحساب باستخدام تعاريف وأساليب المنطق، حيث تمّ –وأخيراً!- حلّ مشكلة الأعداد السالبة.. (2)

فإذا كانت الأعداد السالبة -على بساطتها- قد أخذتْ ذاك المجال الواسع من الأخذ والرّد، فكيف لا تقبل الأعداد العقديّة "التخيّليّة" ذلك الشّكّ، وهي التي لم تقضِ أكثر من نصف المدّة التي قضتْها الأعداد السالبة بين أقلام وأبحاث الرياضيّين؟!

هل أحكي لكَ قصّة الصّفر أيضاً؟! في الحقيقة لقد وُصِف هو الآخر في بادئ الأمر بكونه غير ذي معنى!

باختصار... الكثير من الأفكار الرياضية -البديهيّة بالنسبة لنا الآن-  لاقتْ حتّى مدى طويل رفضاً واستهجاناً من المجتمع العلمي، حتّى صارتْ فيما بعد أساساً رياضيّاً وجزءاً لا يتجزّأ من العلم نفسه!

مروة تفاحة – Marwa Tuffaha

marwat.math@gmail.com

المصادر:

  1. History of Complex Numbers, http://rossroessler.tripod.com
  2. Leo Rogers, The History of Negative Numbers, http://nrich.maths.org/5961

التعليقات

9

تمنياتي لك بالتوفيق والنجاح
شرح مبسط لفكرة معقدة

بارك الله بك وبعلمك وزادك نورا على نور
بداية موفقة

بوركت جهودك ننتظر المزيد

موضوع مهم ويفتح باب للنقاش ولي مداخلة في هذا الامر
عند توضيح فكرة وجود العدد التخيلي البحت i اعتمدت المدونة في استكشاف دستور تربيع الثنائية على كون i^2=-1 ولولا هذه الفرضية لما وصلت للنتيجة المنشودة وهنا الخلل اذ انه عند اثبات وجود العدد التخيلي i لا يحق لنا باعتقادي الاستفادة من خواصه اللتي ندعي انها صحيحة وانما علينا ان نبني الاثبات على افكار سابقة مثبتة سلفا يبقى الموضوع مبهم رغم تكامل وتناسق وانخراط فكرة الاعداد المركبة مع بحر الرياضيات الواسع وعدم تعارضها معه ولا ننسى اهميتها وتكاملها مع علم المثلثات
عذرا للاطالة

شكراً لك سيّد أدهم على مشاركتك وملاحظتك المنطقية...

دعني أشرح لكَ سبب اللبس الذي وقعتَ فيه..

في الحقيقة تبيّن لي أنّ العديدين يظنّون أن \(i\) هو عدد تمّ تعريفه بأنّه عدد مربّعه هو ناقص واحد.. مع أنّ الأمر هو العكس!

إنّ الرمز \(i\) تمّ وضعه للدلالة على العدد \(\sqrt{-1}\) وذلك لتسهيل فهمه من قبل الناس.. ونتيجة لذلك فإنّ مربّعه هو \(i^2=(\sqrt{-1})^2=-1\) حتماً...

يجب تمييز فكرة هامّة وهي أنّ التعبير عن العدد العقدي بالشكل الجبري \(a+bi\) كما ذُكِر في المقال هو الذي أنتج فيما بعد التعبير الآخر عنه على أنّه عبارة عن ثنائية مسقطاها عددان حقيقيّان، أي كأنّه عنصرٌ من الفضاء \(ℝ^2\)..

عندما نريد تربيع عنصر ما من الفضاء \(ℝ^2\) فإنّنا بحاجة لتعريف عمليّة التربيع على هذا الفضاء، وليس من المنطقيّ أن نعرّف هذه العملية بمعزل عن الشكل الجبري الذي تمّ إيجاد هذا الشكل أصلاً على أساسه!

يمكن القول إنّ الشكل الجبري للعدد العقدي \(a+bi\) يعبّر عن أنّ هذا العدد هو مجموع لجذري عددين، أولهما موجب والثاني سالب (ولكن بأخذ إمكانيّة كون نتيجة جذر عدد موجب إمّا موجبة أو سالبة، وفكرة جذر العدد الموجب بحدّ ذاتها موضوع نقاشي كامل قد أكتب مقالاً جديداً عنه!)

إذا نظرنا الآن إلى هذا الشكل على أنّ \(i\) هي مجرّد رمز لـِ \(\sqrt{-1}\)، فإنّنا سنحصل عند تربيعه على \(-1\) حتماً! وسينتج لدينا ما يلي:

\((x+y.\sqrt{-1})^{2}= x^{2} + 2xy.\sqrt{-1} + y^{2}.(\sqrt{-1})^{2} = x^{2}-y^{2} + (2xy).\sqrt{-1} \)

وبالعودة للرمز \(i\) سنجد:

\((x+y.i)^{2}= x^{2}-y^{2} + (2xy).i \)

وبالتالي سنحصل على عمليّة تربيع داخليّة على الفضاء \(ℝ^2\) ونتيجتها ستكون كما تمّ التوضيح في المقال..

أرجو أن يكون ردّي وافياً وشكراً لكَ مرّة أخرى :)

 

 

اظن انهم اظطرو الى ذلك لان كتابة العدد السالب تحت الجذر التربيعي كتابة غير صحيحة في الرياضيات

بوركت جهودك وزادك الله علمآ واسعآوجزيت خيرآ
موضوع رائع صديقتي العزيزة ننتظر المزيد من مقالاتك الممتعة
أعجبني اسلوبك الشيق والشرح المبسط للأفكار .. بالتوفيق والنجاح المستمر

عنجد معلومات روعة يعطيمن العافية

شكرا كتير الكن عهالموقع الحلو
الله محييكم

إضافة تعليق جديد